Question

已知f(x)=-

1

2

ax2+(1-a)x+lnx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當a=0時，令g（x）=f（x）-x，求經(jīng)過點（-e，-1）且與曲線g（x）相切的直線方程．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導數(shù)，討論a的取值范圍，即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當a=0時，求出g（x）=f（x）-x，設出切點坐標求出對應的切線方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=-ax+1-a+

1

x

=

(1-ax)(x+1)

x

，（x＞0），
若a≤0，則1-ax＞0，則此時f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，即此時函數(shù)的增區(qū)間為（0，+∞），
當a＞0．此時

1+x

x

＞0，此時只需要考慮1-ax的符號，
當f′（x）＞0，解得0＜x＜

1

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0，解得x＞

1

a

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
綜上a≤0，f（x）在（0，+∞）上遞增，a＞0時，函數(shù)的增區(qū)間為（0，

1

a

），減區(qū)間為（

1

a

，+∞）．
（Ⅱ）當a=0時，令g（x）=f（x）-x=lnx，
設切點坐標為（n，lnn），則k=f′（n）=

1

n

，
此時切線方程為y-lnn=

1

n

（x-n），
∵切線過點（-e，-1），
則-1-lnn=

1

n

（-e-n），
即nlnn=e，解得n=e，
下證明根的唯一性，
當0＜n＜e時，nlnn＜nlne＜n＜e，
當n＞e時，nlnn＞nlne＞n＞e，
則方程nlnn=e只有唯一的根n=e．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，綜合考查導數(shù)的性質(zhì)．