Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-1的反函數(shù)為y=f^-1（x），記g（x）=f^-1（x-1）
（1）求函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）的最小值；
（2）集合A={x|[1+f（x）]•|f（x）|≥2}，對于任意的x∈A，不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的反函數(shù)，然后推出函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）的表達(dá)式，即可求解其最小值；
（2）通過集合A={x|[1+f（x）]•|f（x）|≥2}，求出集合A，對于任意的x∈A，不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)恒成立，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題，然后求實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2^x-1的反函數(shù)為y=f^-1（x）=log₂（x+1），x＞-1
∴g（x）=f^-1（x-1）=log₂x．x＞0．
∴函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）=2log₂（x+1）-log₂x=log2

(x+1)2

x

=log2

x2+2x+1

x

=log2(x+

1

x

+2)，
∵x＞0，∴x+

1

x

+2≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴函數(shù)y=2f^-1（x）-g（x）的最小值為：log₂4=2．
（2）∵集合A={x|[1+f（x）]•|f（x）|≥2}，
∴[1+f（x）]•|f（x）|≥2，即2^x|2^x-1|≥2，
可得：

2x-1≥0 22x-2x≥2

…①或

2x-1＜0 22x-2x≤-2

…②
解①得x≥1；解②得：x∈∅．
∴A={x|x≥1}，
∴不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0，化為2log₂（x+m+1）-log₂x≥0，
對于任意的x∈A，不等式2f^-1（x+m）-g（x）≥0恒成立，
即對于任意的x∈A，不等式2log₂（x+m+1）-log₂x≥0恒成立，
∴表達(dá)式轉(zhuǎn)化為：log2

(x+m+1)2

x

≥0，在x≥1時恒成立；
即

(x+m+1)2

x

≥1，在x≥1時恒成立；
（x+m+1）²≥x在x≥1時恒成立；
x²+（2m+1）x+（m+1）²≥0，在x≥1時恒成立；
令h（x）=x²+（2m+1）x+（m+1）²，函數(shù)的開口向上，要使在x≥1時恒成立；
必須滿足

- 2m+1 2 ≤1 h(1)≥0

或△＜0，
即

- 2m+1 2 ≤1 1+2m+1+(m+1)2≥0

…①或（2m+1）²-4（m+1）²＜0…②
解①得：m≥-1或m≤-3．
解②得：m＞-

3

4

，
綜上：m∈{m|m≥-1或m≤-3}．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，反函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)基本不等式以及二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．