Question

6．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，g（x）=[f（x）]²-2af（x）+3，且x∈[-1，1]．
（1）當a=1時，求g（x）的值域；
（2）用h（a）表示g（x）的最小值，寫出h（a）的表達式．

Answer 1

分析 （1）a=1時，設f（x）=t，則g（x）=y=t²-2t+3=（t-1）²+2，g（x）的對稱軸為t=1，即可求出g（x）的值域；
（2）g（x）為關于f（x）的二次函數(shù)，可用換元法，轉化為二次函數(shù)在特定區(qū)間上的最值問題，定區(qū)間動軸．

解答 解：（1）由f（x）=（$\frac{1}{3}$）^x，x∈[-1，1]，則f（x）∈[$\frac{1}{3}$，3]．
a=1時，設f（x）=t，則g（x）=y=t²-2t+3=（t-1）²+2，g（x）的對稱軸為t=1，
故有：g（x）的值域為[2，6]；
（2）設f（x）=t，則g（x）=y=t²-2at+3，則g（x）的對稱軸為t=a，故有：
①當a≤$\frac{1}{3}$時，g（x）的最小值h（a）=$\frac{28}{9}$-$\frac{2a}{3}$
②當a≥3時，g（x）的最小值h（a）=12-6a
③當$\frac{1}{3}＜a＜3$時，g（x）的最小值h（a）=3-a²
綜上所述，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{28}{9}-\frac{2a}{3}，a≤\frac{1}{3}}\\{3-{a}^{2}，\frac{1}{3}＜a＜3}\\{12-6a，a≥3}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的值域問題，二次函數(shù)在特定區(qū)間上的值域問題一般結合圖象和單調性處理，“定軸動區(qū)間”、“定區(qū)間動軸”．