Question

【題目】已知首項(xiàng)為 的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn （n∈N*），且S3+a3 ， S5+a5 ， S4+a4成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若實(shí)數(shù)a使得a＞Sn+ 對(duì)任意n∈N*恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

由S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列，可得：

2（S5+a5）=S3+a3+S4+a4，

即2（S3+a4+2a5）=2S3+a3+2a4，

即有4a5=a3，即為q2= ，

解得q=± ，

由等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，可得q= ，

即an= ．

（2）由（1）得Sn=1（ ）n=

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小，所以1＜Sn≤S1=

Sn+ ．

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而增大，所以1＞Sn≥S2=

Sn+

∴實(shí)數(shù)a使得a＞Sn+ 對(duì)任意n∈N*恒成立，則a的取值范圍為（ ，+∞）

【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列公比為q，再根據(jù)S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差數(shù)列，列出關(guān)系式得出q=,由等比數(shù)列為遞減數(shù)列舍得,得出通項(xiàng)公式；（2）分n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，寫(xiě)出Sn，a＞Sn+ 對(duì)任意n∈N*恒成立,得到a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．