Question

5．求 函數(shù)y=|x-3|-|x+1|的最大值．

Answer 1

分析 根據(jù)絕對(duì)值的定義，將題中函數(shù)去絕對(duì)值化簡成分段函數(shù)，再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性加以討論，即可得到函數(shù)的最大、最小值．

解答 解：根據(jù)題意，可得
當(dāng)x≤-1時(shí)，y=|x-3|-|x+1|=3-x-（-x-1）=4；
當(dāng)-1＜x≤3時(shí)，y=|x-3|-|x+1|=3-x-（x+1）=-2x+2；
當(dāng)x≥3時(shí)，y=|x-3|-|x+1|=x-3-（x+1）=-4
∴化簡函數(shù)為分段函數(shù)，得y=$\left\{\begin{array}{l}{4，x≤-1}\\{2-2x，-1＜x≤3}\\{-4，x≥3}\end{array}\right.$，
∵在區(qū)間（-1，3]上，函數(shù)解析式為y=-2x+2，為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴在區(qū)間（-1，3]上，-2×3+2≤y＜-2×（-1）+2，即-4≤y＜4，
因此可得：當(dāng)x≤-1時(shí)，函數(shù)有最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題給出含有絕對(duì)值的函數(shù)，求函數(shù)的最大值和最小值．著重考查了絕對(duì)值的定義、一次函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．