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【題目】在平面直角坐標系中,以坐標原點為中心,以坐標軸為對稱軸的幫圓C經過點M(2,1),N.

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)經過點M作傾斜角互補的兩條直線,分別與橢圓C相交于異于M點的AB兩點,當△AMB面積取得最大值時,求直線AB的方程.

【答案】(1)

(2)

【解析】

1)設橢圓C的方程為,).

根據橢圓過兩點,代入得到方程組,解得.

(2)由直線AM,BM,AB的斜率存在,故.設它們的斜率分別為,,k.

,,直線AB的方程為.聯(lián)立直線與橢圓方程,消元列出韋達定理,由.即. 即可解得,或.分別代入檢驗,再用弦長公式及點到直線的距離公式,表示出三角形的面積,利用基本不等式求最值.

解:(1)設橢圓C的方程為,,).

∵點N在橢圓C上,

.解得.

∴橢圓C的標準方程為.

(2)∵點AB為橢圓上異于M的兩點,且直線AM,BM的傾斜角互補,

∴直線AM,BM,AB的斜率存在.設它們的斜率分別為,,k.

,,直線AB的方程為.

.

.

,消去y,得.

,得.

,.

.

.

.

,或.

∵點A,B為橢圓上異于M的兩點,

∴當時,直線AB的方程為,不合題意,舍去.

∴直線AB的斜率為.

,點M到直線AB的距離為

的面積為.

當且僅當時,的面積取得最大值,此時.

滿足.

∴直線AB的方程為.

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