Question

9．已知函數(shù)f（x）=xe^x+c，若方程f（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的取值范圍是（0，$\frac{1}{e}$） ．

Answer 1

分析 判斷f（x）的單調(diào)性，計算f（x）的極值和極限，根據(jù)零點個數(shù)列不等式組解出．

解答 解：f′（x）=e^x+xe^x=e^x（1+x），
∴當(dāng)x＜-1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞-1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=-1時，f（x）取得最小值f（-1）=-$\frac{1}{e}$+c，
∵方程f（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴f（-1）＜0，即-$\frac{1}{e}$+c＜0，
∴c＜$\frac{1}{e}$．
又x→-∞時，f（x）→c，x→+∞時，f（x）→+∞，
∴c＞0，
∴0＜e＜$\frac{1}{e}$．
故答案為（0，$\frac{1}{e}$）．

點評 本題考查了零點個數(shù)與函數(shù)極值，單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．