Question

14．如圖，矩形ABDE所在平面與正三角形ABC所在平面互相垂直，AE=3，AB=2$\sqrt{3}$，點O是邊AB的中點．
（1）在線段BD上是否存在點F，使得AF⊥平面EOC，證明你的結論；
（2）求二面角B-EC-O的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段BD上存在點F，使得AF⊥平面EOC．
（2）分別求出平面BEC的法向量和平面ECO的法向量，利用向量法能求出二面角B-EC-O的余弦值．

解答 解：（1）在線段BD上不存在點F，使得AF⊥平面EOC．
證明如下：
以O為原點，OC為x軸，OB為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由已知得A（0，-$\sqrt{3}$，0），O（0，0，0），C（3，0，0），
E（0，-$\sqrt{3}$，3），設F（0，$\sqrt{3}$，t），0≤t≤3，
$\overrightarrow{OE}$=（0，-$\sqrt{3}$，3），$\overrightarrow{OC}$=（3，0，0），$\overrightarrow{AF}$=（0，2$\sqrt{3}$，t），
設平面ECO的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=-\sqrt{3}y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=3x=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overline{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
當AF⊥平面EOC時，$\overrightarrow{n}∥\overrightarrow{AF}$，∴t=2，不滿足0≤t≤3，
∴在線段BD上存在點F，使得AF⊥平面EOC．
（2）B（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{BE}=（0，-2\sqrt{3}，3）$，$\overrightarrow{BC}$=（3，-$\sqrt{3}$，0），
設平面BEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=-2\sqrt{3}b+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=3a-\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
由（1）得平面ECO的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，$\sqrt{3}$，1），
設二面角B-EC-O的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{0+3+2}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$|=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．
∴二面角B-EC-O的余弦值為$\frac{5\sqrt{2}}{8}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷與證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．