Question

（08年沈陽(yáng)二中四模）（12分） 已知函數(shù)的定義域?yàn)?I >I，導(dǎo)數(shù)滿足0＜＜2  且≠1，常數(shù)c₁為方程的實(shí)數(shù)根，常數(shù)c₂為方程的實(shí)數(shù)根．

（I）求證：當(dāng)時(shí)，總有成立；

（II）若對(duì)任意，存在，使等式 成立．試問(wèn)：方程有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，并說(shuō)明理由；

（Ⅲ）（理科生答文科生不答）對(duì)任意，若滿足，求證：．

 

Answer 1

解析:答：（I）令，∴函數(shù)為減函數(shù)．

又，∴當(dāng)時(shí)，，即成立．．．．．．．．．4分

（II）假設(shè)方程有異于的實(shí)根m，即．則有

成立 ．

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331165015011.gif' width=44>，所以必有，但這與≠1矛盾，因此方程不存在異于c₁的實(shí)數(shù)根．

∴方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（III）不妨設(shè)，為增函數(shù)，即．

又，∴函數(shù)為減函數(shù)，即．

，即．

，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

（文）解答：（I）令，∴函數(shù)為減函數(shù)．

又，∴當(dāng)時(shí)，，即成立．．．．．．．．．6分

（II）假設(shè)方程有異于的實(shí)根m，即．則有

成立 ．

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331165015011.gif' width=44>，所以必有，但這與≠1矛盾，因此方程不存在異于c₁的實(shí)數(shù)根．

∴方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分