Question

16．已知圓C的半徑為1，圓心C（a，2a-4），（其中a＞0），點(diǎn)O（0，0），A（0，3）
（1）若圓C關(guān)于直線x-y-3=0對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)P，使|PA|=|2PO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出圓心坐標(biāo)，可得圓的方程，再設(shè)出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得切線方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)C，P的坐標(biāo)，利用|PA|=|2PO|，尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題設(shè)知，圓心C（a，2a-4）在直x-y-3=0上，解得點(diǎn)C（1，-2）
所以 圓C的方程為（x-1）²+（y+2）²=1…（2分）
①若切線的斜率不存在，則切線方程x=0，符合題意…（4分）
②若切線斜率存在，設(shè)切線的方程為y-3=k（x-0），即kx-y+3=0．
由題意知，圓心C（1，-2）到切線kx-y+3=0的距離等于半徑1，
即：$\frac{{|{k+2+3}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=1$解之得$k=-\frac{12}{5}$，所以切線方程為12x+5y-15=0…（6分）
綜上所述，所求切線的方程是x=0或 12x+5y-15=0…（7分）
（2）∵圓心C（a，2a-4），半徑為1，所以圓C的方程為（x-a）²+（y-2a+4）²=1．
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），因?yàn)閨PA|=2|PO|∴${x_0}^2+{（{y_o}-3）^2}=4（{x_0}^2+{y_0}^2）$
化簡(jiǎn)得${x_0}^2+{（{y_0}^2+1）^2}=4$，又因?yàn)?{（{x_0}-a）^2}+{（{y_0}-2a+4）^2}=1$…（9分）
所以點(diǎn)P既在以D（0，-1）為圓心，2為半徑的圓上．
又在圓C上，即圓C與圓D有公共點(diǎn)P
則1≤CD≤3即$1≤\sqrt{{a^2}+{{（2a-3）}^2}}≤3$
∴$\left\{{\begin{array}{l}{5{a^2}-12a≤0}\\{5{a^2}-12a+8≥0}\end{array}}\right.$
由5a²-12a≤0，且a＞0得$0＜a≤\frac{12}{5}$
由5a²-12a+8≥0，得a∈R；
所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為$（{0，\frac{12}{5}}]$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．