Question

對(duì)于四面體，以下說(shuō)法中，正確的序號(hào)為 （多選、少選、選錯(cuò)均不得分）.

①若，，為中點(diǎn)，則平面⊥平面；

②若，，則；

③若所有棱長(zhǎng)都相等，則該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為2：1；

④若以為端點(diǎn)的三條棱所在直線(xiàn)兩兩垂直，則在平面內(nèi)的射影為的垂心；

⑤分別作兩組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線(xiàn)，則所得的兩條直線(xiàn)異面。

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：對(duì)于①，如下圖所示四面體，

若，，為中點(diǎn)，則，，所以平面，則平面平面，故①正確；

對(duì)于②，如下圖所示，過(guò)作垂直平面交于點(diǎn)，連接，，并延長(zhǎng)分別與，，交于點(diǎn)，，，

若，則易得，若，則易得，從而可得為底面的垂心，故，又，所以平面，故，所以②正確；

對(duì)于③，如下如圖③所示，取中點(diǎn)，連接，設(shè)為重心，連接，設(shè)上一點(diǎn)為所有棱長(zhǎng)都相等四面體的外接球與內(nèi)切球的球心，外接球與內(nèi)切球半徑分別為，，那么

依題設(shè)棱長(zhǎng)為，則，，，在中，，， ，又，即，∴ ，，故該四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1，即③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由②證明過(guò)程易知④正確；

對(duì)于⑤，如下圖⑤所示，，，，分別為，，，中點(diǎn)，連接，，

易得，，即，∴ ，，，四點(diǎn)共面，即棱中點(diǎn)連線(xiàn)，共面， 故⑤錯(cuò)誤；

考點(diǎn)：立體幾何點(diǎn)線(xiàn)面位置關(guān)系、平行、垂直關(guān)系判斷

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系 試題屬性

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