Question

16．某公司要推出一種新產(chǎn)品，分6個(gè)相等時(shí)長(zhǎng)的時(shí)段進(jìn)行試銷(xiāo)，并對(duì)賣(mài)出的產(chǎn)品進(jìn)行跟蹤以及收集顧客的評(píng)價(jià)情況（包括產(chǎn)品評(píng)價(jià)和服務(wù)評(píng)價(jià)），在試銷(xiāo)階段共賣(mài)出了480件，通過(guò)對(duì)所賣(mài)出產(chǎn)品的評(píng)價(jià)情況和銷(xiāo)量情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，一方面發(fā)現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品的好評(píng)率為$\frac{5}{6}$，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，對(duì)產(chǎn)品和服務(wù)兩項(xiàng)都沒(méi)有好評(píng)有30件，另一方面發(fā)現(xiàn)銷(xiāo)量和單價(jià)有一定的線性相關(guān)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)段	1	2	3	4	5	6
單價(jià)x（元）	800	820	840	860	880	900
銷(xiāo)量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為產(chǎn)品好評(píng)和服務(wù)好評(píng)有關(guān)？
（2）該產(chǎn)品的成本是500元/件，預(yù)計(jì)在今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量和單價(jià)仍然服從這樣的線性相關(guān)關(guān)系（$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$），該公司如果想獲得最大利潤(rùn)，此產(chǎn)品的定價(jià)應(yīng)為多少元？
（參考公式：線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中系數(shù)計(jì)算公式分別為：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$；K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（參考數(shù)據(jù)

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

$\sum_{n=1}^{6}$x_iy_i=406600，$\sum_{n=1}^{6}$x_i²=4342000）

Answer 1

分析 （1）由題意得到2×2列聯(lián)表，由公式求出K²的觀測(cè)值，對(duì)比參考表格得結(jié)論；
（2）求出樣本的中心點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算回歸方程的系數(shù)，寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù)w的解析式，求出w（x）的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答 解：（1）由題意可得產(chǎn)品好評(píng)和服務(wù)好評(píng)的2×2列聯(lián)表：

	服務(wù)好評(píng)	服務(wù)沒(méi)有好評(píng)	總計(jì)
產(chǎn)品好評(píng)	310	90	400
產(chǎn)品沒(méi)有好評(píng)	50	30	80
總計(jì)	360	120	480

其中a=310，b=90，c=50，d=30，ad-bc=4800，
代入K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，得K²=8＜10.828．
∴不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為產(chǎn)品好評(píng)和服務(wù)好評(píng)有關(guān)；
（2）設(shè)獲得的利潤(rùn)為w元，根據(jù)計(jì)算可得，$\overline{x}$=850，$\overline{y}=80$，代入入回歸方程得，$\widehat{y}=-0.2x+250$．
∴w=（-0.2x+250）（x-500）=-0.2x²+350x-125000．
此函數(shù)圖象為開(kāi)口向下，對(duì)稱軸方程為x=875，
∴當(dāng)x=875時(shí)，w（x）取的最大值．
即該公司如果想獲得最大利潤(rùn)，此產(chǎn)品的定價(jià)應(yīng)為875元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)及線性回歸方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．