Question

6．已知拋物線C：y²=4x，過焦點F且斜率為$\sqrt{3}$的直線與C相交于P，Q兩點，且P，Q兩點在準線上的投影分別為M，N兩點，則S_△MFN=（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{16}{3}$
• D． $\frac{{16\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 方法一：求出直線$PQ：y=\sqrt{3}（x-1）$，與拋物線y²=4x聯(lián)解，求出PQ，推出MN，然后求解三角形的面積．
方法二：不妨設交點P在x軸上方，由拋物線焦點弦性質得|PF|=|PM|，|QF|=|QN|，通過$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}=\frac{2}{p}=1$，求解|PF|=4，|QF|，然后求解三角形的面積．

解答 解：方法一：由題意可得直線$PQ：y=\sqrt{3}（x-1）$與拋物線y²=4x聯(lián)解得：3x²-10x+3=0，
所以點$P（3，2\sqrt{3}）$，$Q（\frac{1}{3}，-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，則$MN=2\sqrt{3}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$．在△MNF中，MN邊上的高h=2，則${S_{△MNF}}=\frac{1}{2}×2×\frac{{8\sqrt{3}}}{3}=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
故選：B．
方法二：不防設交點P在x軸上方，由拋物線焦點弦性質得|PF|=|PM|，|QF|=|QN|
且$\frac{1}{|PF|}+\frac{1}{|QF|}=\frac{2}{p}=1$，$\frac{|PM|-|QN|}{|PM|+|QN|}=\frac{|PF|-|QF|}{|PF|+|QF|}=\frac{1}{2}$，故|PF|=4，$|QF|=\frac{4}{3}$，
所以${S_{△MNF}}=\frac{1}{2}×|MN|×p=\frac{1}{2}×（4+\frac{4}{3}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}×2=\frac{{8\sqrt{3}}}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查拋物線的簡單性質的應用，考查計算能力．