Question

12．在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，O為邊AC的中點(diǎn)，BO為邊AC上的中線，$\overrightarrow{BG}$=2$\overrightarrow{GO}$，設(shè)$\overrightarrow{CD}$∥$\overrightarrow{AG}$，若$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$（λ∈R），則|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出G是△ABC的重心，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出向量$\overrightarrow{AG}$，用$\overrightarrow{AG}$表示出$\overrightarrow{CD}$，寫出$\overrightarrow{AD}$的表達(dá)式，利用向量相等列出方程組求出λ的值，代入$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，計(jì)算得答案．

解答 解：由已知得G是三角形的重心，因此$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∵$\overrightarrow{CD}$∥$\overrightarrow{AG}$，設(shè)$\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AG}$，
∴$\overrightarrow{CD}=\frac{k}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．
∴$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$=$\frac{k}{3}\overrightarrow{AB}+（\frac{k}{3}+1）\overrightarrow{AC}$．
∵$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AC}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{3}=1}\\{λ=\frac{k}{3}+1}\end{array}\right.$，即λ=2．
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$，
∴${\overrightarrow{AD}}^{2}=（\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}）^{2}$=$1+4+4×1×1×\frac{1}{2}=7$．
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{7}$．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用問(wèn)題，也考查平面向量的基本定理，是中檔題．