Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（ I）判斷f（x）的奇偶性；
（ II）求證：f（x）+f（ ）為定值；
（III）求 + + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．

Answer 1

【答案】解：（I）∵函數(shù)f（x）= ．
∴函數(shù)f（x）= 的定義域R，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
又 ，
∴f（x）是偶函數(shù)．…（4分）
證明：（Ⅱ）∵ ，
∴ 為定值．
解：（Ⅲ）由（II）知 ，
+ + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）
=
=0+f（1）=0．
【解析】（I）先求出函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由f（﹣x）=f（x），得到f（x）是偶函數(shù)．（Ⅱ）推導(dǎo)出f（ ）=﹣f（x），由此能證明 為定值．（Ⅲ）由 ，能求出 + + +f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)，掌握偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，以及對(duì)函數(shù)的值的理解，了解函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．