Question

甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米/時．已知汽車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（千米/時）的平方成正比、比例系數(shù)為b；固定部分為a元．
（1）把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；
（2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？

Answer 1

【答案】分析：（1）全程運(yùn)輸成本有兩部分組成，將其分別分別表示出來依題意建立起程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米/時）的函數(shù)，由題設(shè)條件速度不得超過c千米/時．故定義域?yàn)関∈（0，c]．
（2）由（1）知，全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)表達(dá)式中出現(xiàn)了積為定值的情形，由于等號成立的條件有可能不成立，故求最值的方法不確定，對對速度的范圍進(jìn)行分類討論，如等號成立時速度值不超過c，則可以用基本不等式求求出全程運(yùn)輸成本的最小值，若等號成立時速度值大于最高限速v，可以判斷出函數(shù)在（0，c]上的單調(diào)性，用單調(diào)性求出全程運(yùn)輸成本的最小值．
解答：解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為，全程運(yùn)輸成本為
故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225548223195126/SYS201311012255482231951028_DA/2.png">
（2）依題意知S，a，b，v都為正數(shù)，故有
當(dāng)且僅當(dāng)，．即時上式中等號成立
若，則當(dāng)時，全程運(yùn)輸成本y最小，
若，即a＞bc²，則當(dāng)v∈（0，c]時，有=
=
因?yàn)閏-v≥0，且a＞bc²，故有a-bcv≥a-bc²＞0，
所以，且僅當(dāng)v=c時等號成立，
也即當(dāng)v=c時，全程運(yùn)輸成本y最�。�
綜上知，為使全程運(yùn)輸成本y最小，當(dāng)時行駛速度應(yīng)為；當(dāng)時行駛速度應(yīng)為v=c．
點(diǎn)評：本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式性質(zhì)、最大值、最小值等基礎(chǔ)知識，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力．