Question

2．△ABC兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-2，0），（2，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于-$\frac{3}{4}$
（Ⅰ）求頂點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）求上述軌跡中以P（1，$\frac{1}{2}$）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出C的坐標(biāo)，利用AC、BC所在直線的斜率之積等于-$\frac{3}{4}$，列出方程，求出點(diǎn)C的軌跡方程；
（Ⅱ）利用點(diǎn)差法，即可求出以P（1，$\frac{1}{2}$）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y）x≠±2，因?yàn)锳C、BC所在直線的斜率之積等于-$\frac{3}{4}$．
所以$\frac{y}{x-2}•\frac{y}{x+2}$=-$\frac{3}{4}$，
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y≠0或x≠±2，
所求的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，y≠0或x≠±2，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，（y≠0），（或x≠±2）．
（Ⅱ）設(shè)弦為PQ，弦所在直線斜率為k，其中P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
所以$\frac{{{x_1}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2}}{3}=1$$\frac{{{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_2}^2}}{3}=1$
相減得：$\frac{{{x_1}^2-{x_2}^2}}{4}+\frac{{{y_1}^2-{y_2}^2}}{3}=0⇒\frac{{（{{x_1}-{x_2}}）（{{x_1}+{x_2}}）}}{4}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{3}=0$$⇒\frac{{（{{x_1}+{x_2}}）}}{4}+\frac{{（{{y_1}-{y_2}}）（{{y_1}+{y_2}}）}}{{3（{{x_1}-{x_2}}）}}=0⇒\frac{1}{2}+\frac{1}{3}k=0⇒k=-\frac{3}{2}$，
所以所求直線方程為：3x+2y-4=0…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查點(diǎn)差法，考查計(jì)算能力，注意直線的斜率垂直的條件的應(yīng)用．