Question

4．設命題p：函數(shù)f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)f（x）=x²-4x+3在[a，4]上遞增．若“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：函數(shù)f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的減函數(shù)，可得$0＜a-\frac{3}{2}＜1$．命題q：由f（x）=（x-2）²-1，在[a，4]上遞增，得2≤a＜4．p且q為假，p或q為真，可得p，q一真一假．

解答 解：命題p：函數(shù)f（x）=（a-$\frac{3}{2}$）^x是R上的減函數(shù)，由$0＜a-\frac{3}{2}＜1$得：$\frac{3}{2}＜a＜\frac{5}{2}$．
命題q：∵f（x）=（x-2）²-1，在[a，4]上遞增，得2≤a＜4．
∵p且q為假，p或q為真，∴p，q一真一假．
若p真q假得，$\frac{3}{2}＜a＜2$，
若p假q真得，$\frac{5}{2}≤a＜4$． 
綜上所得，a的取值范圍是$\frac{3}{2}＜a＜2$或$\frac{5}{2}≤a＜4$．

點評 本題考查了函數(shù)的性質、復合命題真假的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．