Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x-4|＞m對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）通過(guò)對(duì)x的取值范圍的分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，解相應(yīng)的一次不等式，最后取并集即可；
（Ⅱ）利用絕對(duì)值的三角不等式可求得f（x）+3|x-4|的最小值，從而可得m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)x≥4時(shí)，f（x）=2x+1-（x-4）=x+5＞0，得x＞-5，所以x≥4；
當(dāng)-

1

2

≤x＜4時(shí)，f（x）=2x+1+x-4=3x-3＞0，得x＞1，所以1＜x＜4；
當(dāng)x＜-

1

2

時(shí)，f（x）=-x-5＞0，得x＜-5，所以x＜-5；
綜上，原不等式的解集為{x|x＞1或x＜-5}…5分
（Ⅱ）f（x）+3|x-4|=|2x+1|+2|x-4|≥|2x+1-（2x-8）|=9，當(dāng)-

1

2

≤x＜4時(shí)等號(hào)成立，
所以m＜9，即m的取值范圍是（-∞，9）…10分

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，熟練應(yīng)用絕對(duì)值三角不等式得到f（x）+3|x-4|≥9是關(guān)鍵，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．