Question

4．已知函數(shù)f（x）=asinx+acosx+1-a，x∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）求曲線的對稱軸方程；
（2）若f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，$\frac{π}{2}$]化為f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a，對a分類討論可求f（x）的對稱軸方程；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，從而可求sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，結(jié)合題意可求a的值．

解答 解：（1）f（x）=asinx+acosx+1-a=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a，
當a≠0時，x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即x=kπ+$\frac{π}{4}$（k∈Z），又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴曲線的對稱軸方程為x=$\frac{π}{4}$；
當a=0時，f（x）=1，同理可得曲線的對稱軸方程為x=$\frac{π}{4}$；
綜上，曲線的對稱軸方程為x=$\frac{π}{4}$；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，得（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，故sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
①當a＞0時，f（x）_max=（$\sqrt{2}$-1）a+1=$\sqrt{2}$，解得a=1；
②當a＜0時，f（x）_max=$\sqrt{2}$a×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1-a=1≠$\sqrt{2}$，即a＜0不符合題意；
③當a=0時f（x）_max=1≠$\sqrt{2}$，即a=0不符合題意；
綜上所述，a=1．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，突出考查學(xué)生輔助角公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合性強，屬于中檔題．