Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（$\sqrt{3}$，0），長軸長為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是圓x²+y²=b²上第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過P作圓的切線方程與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為Q（x₁，y₁）．求證：|PQ|+|FQ|為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)橢圓的定義與幾何性質(zhì)，求出a、c的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)Q在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，求出|FQ|的表達(dá)式，再根據(jù)PQ為圓x²+y²=b²的切線，求出|PQ|的表達(dá)式，計(jì)算|PQ|+|FQ|即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意得，c=$\sqrt{3}$，2a=4；
∴a=4，
∴b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；…（4分）
（Ⅱ）∵點(diǎn)Q（x₁，y₁）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上，
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+${{y}_{1}}^{2}$=1；
∴|FQ|=$\sqrt{{{（x}_{1}-\sqrt{3}）}^{2}{{+y}_{1}}^{2}}$
=$\sqrt{{{（x}_{1}-\sqrt{3}）}^{2}+（1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}）}$
=$\sqrt{{（2-{\frac{\sqrt{3}}{2}x}_{1}）}^{2}}$；  …（6分）
又∵|x₁|≤2，
∴|FQ|=$\sqrt{{（2-{\frac{\sqrt{3}}{2}x}_{1}）}^{2}}$=2-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁；…（8分）
又∵PQ為圓x²+y²=b²的切線，
∴|PQ|=$\sqrt{{OQ}^{2}{-OP}^{2}}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}-1}$
=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+1-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}$
=$\sqrt{{{\frac{3}{4}x}_{1}}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x₁；  …（10分）
∴|PQ|+|FQ|=2，和為定值． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的切線方程的應(yīng)用問題，也考查了橢圓的定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了直線與圓、直線與橢圓的應(yīng)用問題，是綜合性題目．