Question

6．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值和最小值；
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期；
（2）$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值；
（3）由題意等價于-2＜f（x）-m＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，即-2+m＜f（x）＜2+m在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，根據(jù)（2）可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：函數(shù)$f（x）=2{sin^2}（\frac{π}{4}+x）-\sqrt{3}cos2x$．
化簡得：f（x）=$1-cos（\frac{π}{2}+2x）$-$\sqrt{3}$cos2x．
=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x．
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1．
故得$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
最小值正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）可得$f（x）=1+2sin（2x-\frac{π}{3}）$．
∵$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$，
∴$2x-\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[{\frac{1}{2}，1}]$，
故得f（x）_max=3，
f（x）_min=2．
（3）不等式|f（x）-m|＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，等價于-2＜f（x）-m＜2在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，
即-2+m＜f（x）＜2+m在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上恒成立，
由（2）可知函數(shù)f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上f（x）_max=3，f（x）_min=2．
∴$\left\{\begin{array}{l}2+m＞3\\-2+m＜2\end{array}\right.$
解得：1＜m＜4．
故得實數(shù)m的取值范圍為（1，4）．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式來求解，屬于中檔題．