Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A′B′C′棱長均為2，點(diǎn)D在側(cè)棱BB′上．
（Ⅰ）求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)AD+DC′取最小值時(shí)，求面ADC′和面ABB′A′所成的銳二面角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）將三棱柱的側(cè)面展開，可知當(dāng)D為BB'中點(diǎn)時(shí)，AD+DC'最小，即可求AD+DC′的最小值；
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出面ADC'的一個(gè)法向量、平面ABB′A′A的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求面ADC′和面ABB′A′所成的銳二面角的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）如圖，將三棱柱的側(cè)面展開，
可知當(dāng)D為BB'中點(diǎn)時(shí)，AD+DC'最小，最小值為2

5

．（4分）
（Ⅱ）因?yàn)锳A'⊥底面ABC，∠CAB=60°，在底面上過點(diǎn)A作AB的垂線，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．

所以D(2，0，1)，C′(1，

3

，2)，所以

AD

=(2，0，1)，

AC′

=(1，

3

，2)，（6分）
設(shè)面ADC'的一個(gè)法向量為

n

=(x，y，z)．
則

AD • n =0 AC′ • n =0

⇒

2x+z=0 x+ 3 y+2z=0

，
不妨令x=1，則

n

=(1，

3

，-2)．（8分）
因?yàn)槠矫鍭BB′A′A的一個(gè)法向量為（0，1，0），
設(shè)面ADC′和面ABB′A′所成的銳二面角為α，則cosα=

3

8

=

6

4

，
∴α=arccos

6

4

．

點(diǎn)評：本題考查面面角，考查距離和最小問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，正確求出法向量是關(guān)鍵．