Question

已知函數(shù)f（x）=

1

1+x2

，
（1）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；  
（2）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）的定義域?yàn)閤∈R，只要證明f（-x）=f（x）即可；
（2）只要證明f′（x）≥0在（-∞，0]上成立即可．

解答： 證明：（1）f（x）的定義域?yàn)閤∈R，
∵f（-x）=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
∴f（x）為偶函數(shù)．
（2）∵x∈（-∞，0]，
∴f′（x）=-

2x

(1+x2)2

≥0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．