Question

f（x）=

1

2

x²-lnx．
①求函數(shù)f（x）的值域；
②討論方程

1

2

x²-lnx=m的根的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用

分析：①先求函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，從而求出函數(shù)的最值及值域．
②方程

1

2

x²-lnx=m的根的個數(shù)就是函數(shù)f（x）=

1

2

x²-lnx圖象與直線y=m交點個數(shù)．利用數(shù)形結合的方法求解．

解答： 解：①函數(shù)的定義域（0，+∞），
f′（x）=x-

1

x

=

(x+1)(x-1)

x

，令f′（x）≥0得x≥1； f′（x）≤0得0＜x≤1，
所以函數(shù)在（0，1]單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增，
所以函數(shù)在x=1時取得最小值，f（x）_min=f（1）=

1

2

．
②方程

1

2

x²-lnx=m的根的個數(shù)就是函數(shù)f（x）=

1

2

x²-lnx圖象與直線y=m交點個數(shù)．
當m＜

1

2

時，兩圖象無交點，方程

1

2

x²-lnx=m的根的個數(shù)為0，
當m=

1

2

時，兩圖象一個交點，方程

1

2

x²-lnx=m的根的個數(shù)為1，
當m＞

1

2

時，兩圖象兩個交點，方程

1

2

x²-lnx=m的根的個數(shù)為2．

點評：本題考查函數(shù)值域求解，體現(xiàn)了導數(shù)的工具作用，應用數(shù)形結合思想方法研究了方程根的個數(shù)．