Question

5．已知平面內有三個向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$，其中∠AOB=60°，∠AOC=30°，且$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=2$，$|\overrightarrow{OC}|=4\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}（λ，μ∈R）$，則λ+μ=4或2．

Answer 1

分析 以OC為對角線，以OA，OB方向為鄰邊作平行四邊形，求出平行四邊形OA方向上的邊長即可得出答案

解答 解：①當OB，OC在OA同側時，
過點C作CE∥OB交OA的延長線于點E，過點C作CF∥OA交OB的延長線于點F，
則$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$．

∵∠AOB=60°，∠AOC=30°，
∴∠OCE=∠COF=∠COE=30°，$|\overrightarrow{OC}|=4\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{CE}$|=|$\overrightarrow{OE}$|=4，
∵$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=2$，
∴λ=μ=2，
∴λ+μ=4．
②當OB，OC在OA同側時，
過點C作CE∥OB交OA的延長線于點E，過點C作CF∥OA交OB的延長線于點F，
則$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OE}$+$\overrightarrow{OF}$．

∵∠AOB=60°，∠AOC=30°，
∴∠OCE=∠COF=90°，∠COE=30°，$|\overrightarrow{OC}|=4\sqrt{3}$，
∴|$\overrightarrow{CE}$|=4，|$\overrightarrow{OE}$|=8，
∵$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=2$，
∴λ=4，μ=-2，
∴λ+μ=2．
故答案為：4或2

點評 本題考查了向量在幾何中的應用，平面向量的基本定理，向量運算的幾何意義，屬于中檔題