Question

15．設(shè)f（x）=|x-1|+2|x+1|的最小值為m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）設(shè)a，b∈R，a²+b²=m，求$\frac{1}{{a}^{2}+1}+\frac{4}{^{2}+1}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍求出函數(shù)f（x）的最小值，從而求出m的值即可；（Ⅱ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x≤-1時，f（x）=-3x-1≥2，
當(dāng)-1＜x＜1時，f（x）=x+3＞2，
當(dāng)x≥1時，f（x）=3x+1≥4，
∴當(dāng)x=-1時，f（x）取得最小值m=2；
（Ⅱ）由題意知a²+b²=2，a²+1+b²+1=4，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4}{^{2}+1}$=$\frac{1}{4}$（a²+1+b²+1）（$\frac{1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4}{^{2}+1}$）=$\frac{1}{4}$[5+$\frac{^{2}+1}{{a}^{2}+1}$+$\frac{4{（a}^{2}+1）}{^{2}+1}$]≥$\frac{9}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{^{2}+1}{{a}^{2}+1}$=$\frac{4{（a}^{2}+1）}{^{2}+1}$]時，即a²=$\frac{1}{3}$，b²=$\frac{5}{3}$等號成立，
∴$\frac{1}{{a}^{2}+1}+\frac{4}{^{2}+1}$的最小值為$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，是一道中檔題．