Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求f^-1（

3

4

）的值；
（3）求使f（x）=a有解的常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反函數(shù),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）根據(jù)反函數(shù)的定義解方程求f（x）=

3

4

即可；
（3）求出函數(shù)f（x）的值域即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），
∴f（-x）=）=

1

2

（e^-x-e^x）=-

1

2

（e^x-e^-x）=-f（x），
即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2設(shè)求f^-1（

3

4

）=x，則f（x）=（

3

4

），
即f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）=

3

4

，
∴e^x-e^-x=

3

2

，
即2（e^x）²-3e^x-2=0，
解得e^x=2或e^x=-

1

2

（舍去），
即x=ln2，
∴f^-1（

3

4

）=ln2．
（3）∵f（x）=

1

2

（e^x-e^-x）在R上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x→+∞時(shí)，y→+∞，
當(dāng)x→-∞時(shí)，y→-∞，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)镽，
∴使f（x）=a有解的常數(shù)a∈R．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及利用反函數(shù)的性質(zhì)解方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力．