設(shè)-
2
≤a＜0，已知函數(shù)f（x）=（sinx+a）（cosx+a），x∈[0，
π
2
]，求該函數(shù)的最值．
考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：展開函數(shù)f（x）后整理，然后令sinx+cosx=t，由x得范圍求得t的范圍，把sinx+cosx=t兩邊平方后用t表示sinxcosx，則原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，結(jié)合t的范圍與a的范圍利用函數(shù)單調(diào)性求最值．
解答： 解：設(shè)sinx+cosx=t，
則t=sinx+cosx=
2
(
2
2
sinx+
2
2
cosx)=
2
sin(x+
π
4
)，
∵x∈[0，
π
2
]，
∴x+
π
4
∈[
π
4
，
3π
4
]，
∴t∈[-
2
，
2
]，
∵t2=（sinx+cosx）2=1+2sinxcosx，
∴sinxcosx=
t2-1
2
，
則y=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a2
=
t2-1
2
+at+a2=
1
2
(t+a)2+
a2-1
2
．
對稱軸為t=-a，
∵-
2
≤t≤
2
，-
2
≤-a＜0，
∴當(dāng)t=-a時，y取最小值
a2-1
2
，
當(dāng)t=
2
時，y取最大值a2+
2
a+
1
2
．
點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)最值的求法，訓(xùn)練了換元法，考查了利用配方法及二次函數(shù)單調(diào)性求二次函數(shù)的最值，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線m、n和平面a、β．下列四個命題中，
①若m∥a，n∥a，則m∥n；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；
③若α⊥β，m?α，則m⊥β；
④若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α，
其中正確命題的個數(shù)是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知p：x≥k，q：
3
x+1
＜1，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�
A、[2，+∞）
B、（2，+∞）
C、[1，+∞）
D、（-∞，-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知命題p：?x∈R，log2（3x+1）≤0，則（　�。�
A、p是假命題；￢p：?x∈R，log2（3x+1）≤0
B、p是假命題；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0
C、p是真命題；￢p：?x∈R，log2（3x+1）≤0
D、p是真命題；￢p：?x∈R，log2（3x+1）＞0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若雙曲線
x2
a2
-
y2
9
=1(a＞0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=20x的焦點(diǎn)重合，則雙曲線的離心率是（　�。�
A、
4
3
B、
5
3
C、
5
4
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
2
（ex-e-x）（e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求f-1（
3
4
）的值；
（3）求使f（x）=a有解的常數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如果數(shù)列a1，
a2
a1
，
a3
a2
，…
an
an-1
，…是首項(xiàng)為1，公比q=2的等比數(shù)列．
（1）求a2、a3的值；
（2）求滿足不等式
nan
≥2013的正整數(shù)n的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx，是否存在最小正常數(shù)m，使得a＞m時，對任意正實(shí)數(shù)x，不等式f（a+x）＜f（a）•ex恒成立？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=1-
2
2x+1

（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0．

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