Question

已知線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動，|AB|=3，點(diǎn)M滿足2

AM

=

MB

．
（1）求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若曲線E的所有弦都不能被直線l：y=k（x-1）垂直平分，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y），依題意A（

3x

2

，0），B（0，3y），由此能求出M軌跡E的方程．
（2）設(shè)E的弦所在直線方程為y=-

x

k

+m，代入E的方程

x2 4 +y2=1 y=- x k +m

，得（

1

4

+

1

k2

）x²-

2m

k

x+m²-1=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），依題意A（

3x

2

，0），B（0，3y），
由|AB|=3，得

9x2

4

+9y²=9，
∴M軌跡E的方程是

x2

4

+y2=1；
（2）設(shè)E的弦所在直線方程為y=-

x

k

+m，代入E的方程

x2 4 +y2=1 y=- x k +m

，得（

1

4

+

1

k2

）x²-

2m

k

x+m²-1=0，
△=

4m2

k2

-（1+

4

k2

）（m²-1）
=-（m²-1-

4

k2

）＞0，
m²＜1+

4

k2

，①
設(shè)弦的兩端為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=

2m k

1 4 + 1 k2

=

8km

k2+4

，
弦的中點(diǎn)：x=

4km

k2+4

，y=-

4m

k2+4

+m=

mk2

k2+4

，
這個中點(diǎn)不在直線y=k（x-1）上，
∴

mk2

k2+4

≠k（

4km

k2+4

-1，
mk≠4km-k²-4，
m≠

k2+4

3k

，
m²≠

1

9k2

（k²+4）²，

(k2+4)2

9k2

≥1+

4

k2

，
解得k≥

5

或k≤-

5

．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．