Question

11．已知等腰直角三角形ABC的腰長(zhǎng)AC=1，底角A的角平分線交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=1-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 先建立平面直角坐標(biāo)系，表示出C，A，B的坐標(biāo)，再根據(jù)底角A的角平分線交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，設(shè)∠DAB=∠θ，和二倍角公式求出tanθ=$\sqrt{2}$-1，繼而求出D的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=1-$\sqrt{2}$，

解答 解：以定點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，以BC所在的直線為y軸，
則C（0，0），A（1，0），B（0，1），
∵底角A的角平分線交對(duì)邊BC于點(diǎn)D，設(shè)∠DAB=∠θ，
∴θ=22.5°，
∵tan45=$\frac{2tanθ}{1-ta{n}^{2}θ}$=1，
∴tanθ=$\sqrt{2}$-1，
∴CD=ACtanθ=$\sqrt{2}$-1，
∴D（0，$\sqrt{2}$-1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，$\sqrt{2}$-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，-1），
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=1-$\sqrt{2}$，
故答案為：1-$\sqrt{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，本題的關(guān)鍵的建立平面直角坐標(biāo)系，屬于中檔題．