Question

1．如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，∠BCD=120°，對角線AC，BD交于點S，且DS=2SB，P為AC的中點．
求證：（Ⅰ）∠PBD=30°；
（Ⅱ）AD=DC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）A，B，C，D四點共圓，AC為直徑，P為該圓的圓心，作PM⊥BD于點M，知M為BD的中點，即可證明∠PBD=30°；
（Ⅱ）作SN⊥BP于點N，則$SN=\frac{1}{2}SB$，證明Rt△PMS≌Rt△PNS，∠DAC=45°=∠DCA，即可證明AD=DC．

解答 證明：（Ⅰ）由已知得∠ADC=90°，從而A，B，C，D四點共圓，AC為直徑，P為該圓的圓心．
作PM⊥BD于點M，知M為BD的中點，
所以∠BPM=$\frac{1}{2}∠BPD$=∠A=60°，
從而∠PBM=30°． …（5分）
（Ⅱ）作SN⊥BP于點N，則$SN=\frac{1}{2}SB$．

又$DS=2SB，DM=MB=\frac{1}{2}BD$，
∴$MS=DS-DM=2SB-\frac{3}{2}SB=\frac{1}{2}SB=SN$，
∴Rt△PMS≌Rt△PNS，
∴∠MPS=∠NPS=30°，
又PA=PB，所以$∠PAB=\frac{1}{2}∠NPS=15°$，
故∠DAC=45°=∠DCA，所以AD=DC．…（10分）

點評 本題考查圓的性質(zhì)，考查三角形相似的證明與運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．