Question

20．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，請(qǐng)說(shuō)明理由
（2）若函數(shù)在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）討論a=0時(shí)與a≠0時(shí)的奇偶性，然后定義定義進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)a的取值范圍，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
（3）根據(jù)a的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求出在區(qū)間[1，2]上的最小值．

解答 解：（1）由題意可知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽．
當(dāng)a=0時(shí)f（x）=x|x-a|=x|x|，為奇函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此時(shí)函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax=（x-\frac{a}{2}）^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}，x≥a}\\{ax-{x}^{2}=-（x-\frac{a}{2}）^{2}+\frac{{a}^{2}}{4}，x＜a}\end{array}\right.$，
即若a=0，則函數(shù)f（x）=x|x|為增函數(shù)，滿足條件．
若a＞0，則函數(shù)在（-∞，$\frac{a}{2}$]和[a，+∞）為增函數(shù)，
若函數(shù)在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，則0＜a≤3，
若a＜0，則函數(shù)在（-∞，a]和[$\frac{a}{2}$，+∞）為增函數(shù)，
此時(shí)函數(shù)在區(qū)間[3，+∞）上單調(diào)遞增，恒成立，
綜上a≤3．
（3）若a=0，則函數(shù)f（x）=x|x|為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a）=g（1）=1．
若a＞0，則函數(shù)在（-∞，$\frac{a}{2}$]和[a，+∞）為增函數(shù)，
若a≤1，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，則最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a，
若1＜a＜2，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值g（a）=f（a）=0．
若1≤$\frac{a}{2}$≤2，即2≤a≤4，則函數(shù)的最小值為g（a）=min{f（1），f（2）}，
若$\frac{a}{2}$＞2，得a＞4，此時(shí)函數(shù)f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，則最小值g（a）=f（1）=|1-a|=a-1，
若a＜0，則函數(shù)在[1，2]上為增函數(shù)，則最小值g（a）=f（1）=|1-a|=1-a．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，考查了分類討論思想，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．