Question

10．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；       
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，由題意得（1+2d）²=1（1+8d），可求得d=1，故可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法，即可求出數(shù)列{a_n•2ⁿ}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）設(shè){a_n}的公差為d，由題意得（1+2d）²=1（1+8d），
得d=1或d=0（舍去），
∴{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=1+（n-1）d=n．
（Ⅱ）∵a_n•2ⁿ=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得-T_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．