Question

20．在紙箱內(nèi)裝有10個大小相同的黑球、白球和紅球，已知從箱中任意摸出1個球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$，從箱中摸出2個球，至少得到1個白球的概率是$\frac{8}{15}$．
（1）求箱中各色球的個數(shù)；
（2）從箱中任意摸出3個球，記白球的個數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）從箱中任意摸出1球得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$，設(shè)黑球個數(shù)為x，則$\frac{x}{10}$=$\frac{2}{5}$，解得x．設(shè)白球的個數(shù)為y，從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是$\frac{8}{15}$，可得$\frac{{∁}_{y}^{2}+{∁}_{y}^{1}{∁}_{10-y}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，1≤y≤6，解得y，即可得出．
（2）由題設(shè)知ξ的所有取值是0，1，2，3，利用超幾何分布列的計(jì)算公式即可得出，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）∵從箱中任意摸出1球得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$，
設(shè)黑球個數(shù)為x，則$\frac{x}{10}$=$\frac{2}{5}$，解得x=4．
設(shè)白球的個數(shù)為y，從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是$\frac{8}{15}$，
則$\frac{{∁}_{y}^{2}+{∁}_{y}^{1}{∁}_{10-y}^{1}}{{∁}_{10}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，1≤y≤6，解得y=3．
∴箱中黑球4個，白球3個，紅球3個．
（2）由題設(shè)知ξ的所有取值是0，1，2，3，
則：P（ξ=0）=$\frac{{∁}_{7}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{24}$，P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{7}^{2}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{21}{40}$，P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{7}^{1}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{40}$，P（ξ=3）=$\frac{{∁}_{3}^{3}}{{∁}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{120}$．
分布列表為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{7}{24}$	$\frac{21}{40}$	$\frac{7}{40}$	$\frac{1}{120}$

E（ξ）=0×$\frac{7}{24}$+1×$\frac{21}{40}$+2×$\frac{7}{40}$+3×$\frac{1}{120}$=$\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了離散型超幾何分布列的計(jì)算公式、數(shù)學(xué)期望、古典概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．