Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)的左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（-1，0），已知橢圓E上的一點(diǎn)到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F₂作一條傾斜角為

π

4

的直線交橢圓于C、D，求△CDF₁的面積；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P（4，t）（t≠0），A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，若直線AP、BP分別與橢圓相交異于A、B的點(diǎn)M、N，求證∠MBP為銳角．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)左焦點(diǎn)F₁的坐標(biāo)為（-1，0），橢圓E上的一點(diǎn)到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和為4，求出求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線CD方程為y=x-1，將直線方程代入橢圓方程，求出|CD|，點(diǎn)F₁到直線CD的距離，可求△CDF₁的面積；
（Ⅲ）根據(jù)P、A、M三點(diǎn)共線，可得kPA=kMA⇒

t

6

=

y0

x0+2

⇒t=

6y0

x0+2

，再利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知：2a=4，即a=2，∴c²=1，b²=3
故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，…（3分）
（Ⅱ）由已知得直線CD方程為y=x-1，將直線方程帶入橢圓方程得：7x²-8x-8=0…（4分）
設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1+x2=

8

7

，x1x2=-

8

7

…（5分）
則|CD|=

1+12

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 8 7 )2+4• 8 7

…（7分）
點(diǎn)F₁到直線CD的距離是d=

|-1-1|

2

=

2

…（8分）
所以S△CDF1=

1

2

|CD|d=

12

7

2

…（9分）
（Ⅲ）A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)M（x₀，y₀），則-2＜x₀＜2
因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以

y

2 0

=

3

4

(4-

x

2 0

)…（10分）
因?yàn)镻、A、M三點(diǎn)共線，所以kPA=kMA⇒

t

6

=

y0

x0+2

⇒t=

6y0

x0+2

…（11分）
所以

BM

=(x0-2，y0)，

BP

=(2，

6y0

x0+2

)
所以

BM

•

BP

=

5

2

（2-x₀）＞0…（13分）
所以∠MBP為銳角…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．