Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知正方體的棱長為

2

，M、N分別在AD₁與DB上，若AM=BN=x．求證：
（1）MN∥面CDD₁C₁；
（2）設MN=y，求y=f（x）的表達式；
（3）求MN的最小值及x的值．

Answer 1

考點：函數解析式的求解及常用方法,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（1）運用坐標系判斷證明．
（2）求出坐標，再求向量的模即可．
（3）運用函數求解．

解答： 解：（1）建立空間坐標系，以D原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸．
正方體的棱長為

2

，M、N分別在AD₁與DB上，若AM=BN=x．
D（0，0，0），A（

2

，0，0），M（

2

-

2

2

x，0.

2

2

x），N（

2

-

2

2

x，

2

-

2

2

x，0）

MN

=（0，

2

-

2

2

x，-

2

2

x），面CDD₁C₁的法向量為

n0

=（

2

，0，0），
∵

MN

•

n0

=0，M點不在平面CDD₁C₁內
∴，MN∥面CDD₁C₁；
（2）設MN=y，y=f（x）=

x2-2x+2

，x∈[0.

2

]
（3）f（x）=

x2-2x+2

=

(x-1)2+1

，x∈[0.

2

]
根據二次函數的單調性可知：x=1時，最小值為1

點評：本題考察了用坐標系解決幾何問題．