Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-alnx
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線2x-y+1=0平行，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）對任意的n∈N^*，求證：

1

2

n²＞lnn．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意可得f′（1）=2，解出即可；
（2）分a≤0，a＞0兩種情況討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（3）取a=1，由（2）可得f（x）≥f(1)=

1

2

，由此可得結(jié)論；

解答： 解：（1）f′（x）=x-

a

x

，
由題意知y=f（x）在x=1處的切線斜率為2，即f′（1）=2，
∴1-a=2，解得a=-1；
（2）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

，
當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當a＞0時，由f′（x）＜0，得0＜x＜

a

；由f′（x）＞0，得x＞

a

．
∴當a≤0時，f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；當a＞0時，f（x）的遞減區(qū)間是（0，

a

]，遞增區(qū)間是[

a

，+∞）．
（3）取a=1，由（2）知，f（x）=

1

2

x²-lnx在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）≥f(1)=

1

2

，
∴

1

2

x²-lnx≥

1

2

，

1

2

x²≥lnx+

1

2

，
∴對任意的n∈N^*，

1

2

n²≥lnn+

1

2

＞lnn．

點評：該題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查學生分析解決問題的能力，注意：求單調(diào)區(qū)間要在定義域內(nèi)進行．