Question

9．在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)M的極坐標(biāo)為$（3\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)）．
（1）直線l過M且與圓C相切，求直線l的極坐標(biāo)方程；
（2）過點(diǎn)P（0，m）且斜率為$\sqrt{3}$的直線l'與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|PA|•|PB|=6，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程和普通方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
（2）將直線方程代入圓的方程得到關(guān)于t的二次方程，根據(jù)判別式求出關(guān)于m的方程，解出即可．

解答 解：（1）M的直角坐標(biāo)為（3，3），
圓C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=4，
設(shè)直線l：y-3=k（x-3），即l：kx-y-3k+3=0，
因?yàn)橹本�l與圓C相切，所以$\frac{|2k-3|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，
此時(shí)直線l的方程為5x-12y+21=0，
若直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，
所以直線l的極坐標(biāo)方程為5ρcosθ-12ρsinθ+21=0或ρcosθ=3．
（2）將直線l'的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=m+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓C的方程（x-1）²+y²=4，
得：t²+（$\sqrt{3}$m-1）t+m²-3=0，
$△={（\sqrt{3}m-1）^2}-4（{m^2}-3）$=$-{m^2}-2\sqrt{3}m+13＞0$，
設(shè)PA=t₁，PB=t₂，則${t_1}•{t_2}={m^2}-3$，
因?yàn)閨PA|•|PB|=6，所以$|{t_1}•{t_2}|=|{m^2}-3|=6$，
所以m²-3=±6，解得m=±3，
由△＞0知，所求m的值為-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程以及普通方程的關(guān)系，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合題．