Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有共同的切線，求的值；

（2）證明： ；

（3）若不等式對所有， 都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)t=2；(2)證明見解析；(3) .

【解析】試題分析：

(1)由題意可知： ，據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)t的方程，解方程可得：t=2；

(2)構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的最大值即可證得題中的結(jié)論；

(3)將原問題轉(zhuǎn)化為對所有的， 都成立，討論函數(shù)， 的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：

（1）， ，

∵與在點(diǎn)處有共同的切線，

∴，即.

（2）令，則，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

∴的最大值為，∴的最小值是1.

設(shè)， ，

故在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故，

∴.

（3）不等式對所有的， 都成立，

則對所有的， 都成立，

令， ， 是關(guān)于的一次函數(shù)，

∵，∴，∴當(dāng)時(shí)， 取得最小值，

即，當(dāng)時(shí)，恒成立，故.