Question

11．在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），M是C₁上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，P點(diǎn)的軌跡為曲線C₂．在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程是ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{2}$=0，直線l與曲線C₂相交于A、B．
（1）求曲線C₁、C₂的普通方程；   
（2）求△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知得$ta{n}^{2}α=\frac{4}{{y}^{2}}$，代入$x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，能求出曲線C₁的普通方程，設(shè)P（x，y），推導(dǎo)出M（2x，2y），由此能求出C₂的普通方程．
（2）法一：由$\left\{\begin{array}{l}ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0\\ ρ{sin^2}θ=cosθ\end{array}\right.$，得ρsinθ=2，或ρsinθ=-1，由此利用S_△ABO=S_△ACO+S_△BCO能求出△ABO的面積．
法二：直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0$的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0，聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=x}\\{x-y-2=0}\end{array}}\right.$，得y²-y-2=0，由此能求出△ABO的面積．

解答 解：（1）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}}\\{y=\frac{2}{tanα}}\end{array}\right.$（α為參數(shù)，α≠$\frac{kπ}{2}$，k∈z），
∴${y}^{2}=\frac{4}{ta{n}^{2}α}$，∴$ta{n}^{2}α=\frac{4}{{y}^{2}}$，代入$x=\frac{2}{ta{n}^{2}α}$，
化簡得曲線C₁的普通方程：y²=2x，…（1分）
設(shè)P（x，y），P點(diǎn)滿足$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OM}$，得M（2x，2y），…（3分）
∵M(jìn)是C₁上的動點(diǎn)，∴（2y）²=2（2x）…（4分）
∴y²=x，即C₂的普通方程為y²=x（x＞0）…（5分）
（2）解法一：在極坐標(biāo)系中，直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0$與極軸相交于C（2，0），…（6分）
曲線C₂的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ=cosθ（ρ≠0），…（7分）
由$\left\{\begin{array}{l}ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0\\ ρ{sin^2}θ=cosθ\end{array}\right.$，得ρsinθ=2，或ρsinθ=-1…（8分）
設(shè)A（ρ₁，θ₁），B（ρ₂，θ₂），
∴${S_{△ABO}}={S_{△ACO}}+{S_{△BCO}}=\frac{1}{2}×2×|{ρ_1}sin{θ_1}|+\frac{1}{2}×2×|{ρ_2}sin{θ_2}|=3$…（10分）
解法二：直線$l：ρsin（θ-\frac{π}{4}）+\sqrt{2}=0$的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0…（6分）
且l與x軸交于D（2，0）…（7分）；
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=x}\\{x-y-2=0}\end{array}}\right.$，消元得y²-y-2=0，…（8分）；
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則y₁+y₂=1，y₁•y₂=-2…（9分）
△ABO的面積S_△ABO=$\frac{1}{2}•OD•$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}•2•\sqrt{1+8}$=3…（10分）．

點(diǎn)評 本題考查曲線的普通方程的求法，考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式的合理運(yùn)用．