Question

在等差數(shù)列{a_n}中，若a₅=0，則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_9-n（n＜9，n∈N₊），若a₁₀=0則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N₊）根據(jù)上述規(guī)律，若a₁₅=0，則有怎樣的等式？并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,推理和證明

分析：由已知中若a₅=0，則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_9-n（n＜9，n∈N₊），若a₁₀=0則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N₊）歸納可得若a₁₅=0，則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_29-n（n＜29，n∈N₊），進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得答案．

解答： 解：∵若a₅=0，則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_9-n（n＜9，n∈N₊），
若a₁₀=0則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19，n∈N₊），
歸納可得：
若a₁₅=0，則有a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_29-n（n＜29，n∈N₊），
當(dāng)n＜15時(shí)，（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_29-n）=-（a_n+1+a_n+2+…+a_29-n）=（2n-29）•a₁₅=0，
當(dāng)n≥15時(shí)，（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_29-n）=a_30-n+a_31-n+…+a_n=（2n-29）•a₁₅=0，
綜上，（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_29-n）=0恒成立，
即a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_29-n（n＜29，n∈N₊）．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．