【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知點是曲線上一點,點是曲線上一點,的最小值為,求實數(shù)的值.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】試題分析:(1)先將曲線的參數(shù)方程消參變?yōu)槠胀ǚ匠,再化為極坐標(biāo)方程,由將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)由點到直線距離公式,再求出的最小值的表達(dá)式,求出t的值。

試題解析(1)由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù),可得的普通方程為,

,化為極坐標(biāo)方程為,

由曲線的極坐標(biāo)方程),得),

∴曲線的直角坐標(biāo)方程為,即

(2)曲線的圓心到直線的距離

的最小值為,解得

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【題目】設(shè)函數(shù),函數(shù),,其中為常數(shù)且,令函數(shù).

(1)求函數(shù)的表達(dá)式,并求其定義域;

(2)當(dāng),求函數(shù)的值域;

(3)是否存在自然數(shù),使得函數(shù)的值域恰為?若存在,試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構(gòu)成的集合;若不存在,試說明理由.

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(1)證明:平面;

(2)求與平面所成角的正弦值.

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【題目】某家庭進(jìn)行理財投資,根據(jù)長期收益率市場預(yù)測,投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比,投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元。

(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系式;

(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金,全部用于理財投資,怎樣分配資金才能獲得最大收益?其最大收益為多少萬元?

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【題目】某體育公司對最近6個月內(nèi)的市場占有率進(jìn)行了統(tǒng)計,結(jié)果如表:

(1)可用線性回歸模型擬合之間的關(guān)系嗎?如果能,請求出關(guān)于的線性回歸方程,如果不能,請說明理由;

(2)公司決定再采購,兩款車擴(kuò)大市場,,兩款車各100輛的資料如表:

平均每輛車每年可為公司帶來收入500元,不考慮采購成本之外的其他成本,假設(shè)每輛車的使用壽命都是整數(shù)年,用每輛車使用壽命的頻率作為概率,以每輛車產(chǎn)生利潤的期望值作為決策依據(jù),應(yīng)選擇采購哪款車型?

參考數(shù)據(jù):,,

參考公式:相關(guān)系數(shù);

回歸直線方程,其中,

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【題目】設(shè)n是一個正整數(shù),定義n個實數(shù)a1,a2,,an的算術(shù)平均值為.設(shè)集合 M={1,2,3,2015},對 M的任一非空子集 Z,令αz表示 Z中最大數(shù)與最小數(shù)之和,那么所有這樣的αz的算術(shù)平均值為______.

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【題目】如圖,已知兩個城鎮(zhèn)相距20公里,設(shè)中點,在的中垂線上有一高鐵站,的距離為10公里.為方便居民出行,在線段上任取一點(點、不重合)建設(shè)交通樞紐,從高鐵站鋪設(shè)快速路到處,再鋪設(shè)快速路分別到、兩處.因地質(zhì)條件等各種因素,其中快速路造價為1.5百萬元/公里,快速路造價為1百萬元/公里,快速路造價為2百萬元/公里,設(shè),總造價為(單位:百萬元).

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出函數(shù)的定義域;

(2)求總造價的最小值,并求出此時的值.

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【題目】黨的十八提出:倡導(dǎo)富強(qiáng)、民主、文明、和諧、自由、平等、公正、法治、愛國、敬業(yè)、誠信、友善社會主義核心價值觀.現(xiàn)將這十二個詞依次寫在六張規(guī)格相同的卡片的正反面(無區(qū)分),(如富強(qiáng)、民主寫在同一張卡片的兩面),從中任意抽取1張卡片,則寫有愛國”“誠信兩詞中的一個的概率是(

A.B.C.D.

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)求橢圓的方程;

)在橢圓上,是否存在點,使得直線與圓相交于不同的兩點、,且的面積最大?若存在,求出點的坐標(biāo)及對應(yīng)的的面積;若不存在,請說明理由.

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