Question

（Ⅰ）求(

x

3

+

3

x

)9的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)及中間兩項(xiàng)；
（Ⅱ）已知(

x

+

2

x2

)n的展開(kāi)式中，第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是56：3，求n．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng)．再根據(jù)展開(kāi)式共有10項(xiàng)，可得中間2項(xiàng)．
（Ⅱ）根據(jù)(

x

+

2

x2

)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可得第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是

C 4 n •24

C 2 n •22

=

56

3

，由此求得n的值．

解答： 解：（Ⅰ）(

x

3

+

3

x

)9的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 9

•3^2r-9•x9-

3r

2

，
令9-

3r

2

=0，求得r=6，可得展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為

C

6 9

•2³=672．
由于展開(kāi)式共有10項(xiàng)，故中間兩項(xiàng)分別為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，即r=4或r=5，
即中間兩項(xiàng)為T₅=

C

4 9

•

1

3

•X³=56x³，T₆=

C

5 9

•3•x

3

2

=441x

3

2

．
（Ⅱ）已知(

x

+

2

x2

)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r n

•2^r•x

n-5r

2

，
第5項(xiàng)的系數(shù)與第3項(xiàng)的系數(shù)之比是

C 4 n •24

C 2 n •22

=

56

3

，求得n=10．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．