Question

已知向量

OA

、

OB

夾角為θ，θ∈(0，

π

2

)，|

OA

|=3，點(diǎn)M在直線OB上，且|

OA

+

OM

|的最小值為

3

2

，則sinθ的值為

 

．

Answer 1

分析：通過對(duì)M是在直線OB上還是在OB的反向延長(zhǎng)線上討論，得到兩個(gè)向量的夾角，再將|

OA

+

OM

|平方，利用向量模的平方等于向量的平方，列出關(guān)于a，θ的函數(shù)，通過公式求出對(duì)稱軸，求出二次函數(shù)的最小值，列出方程，求出角的正弦．

解答：解：設(shè)|

OM

|=a（a＞0）
①當(dāng)M與B在O的同側(cè)時(shí)，
∵|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2
=9+6cosθ•a+a²
對(duì)稱軸為a=-3cosθ＜0
無最小值，故舍去
②當(dāng)M與B在O的兩側(cè)時(shí)，
|

OA

+

OM

|2=

OA

2+2

OA

•

OM

+

OM

2
=9-6cosθa+a²
對(duì)稱軸為a=3cosθ＞0
所以當(dāng)a=3cosθ最小
9-18cos2θ+9cos2θ=

9

4

∴sinθ=

1

2

故答案為

1

2

點(diǎn)評(píng)：解決向量模的問題，一般利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的運(yùn)算法則展開即可．在利用向量的數(shù)量積公式時(shí)有定注意向量夾角的值．