Question

1．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BC、A₁D₁的中點(diǎn)，求AD和平面B₁EDF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 首先以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后可確定一些點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面B₁EDF的法向量為$\overrightarrow{n}$，而根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{n}$．設(shè)直線AD和平面B₁EDF所成角為θ，根據(jù)sinθ=$|cos＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}＞|$即可求出sinθ．

解答 解：如圖，分別以邊DA，DC，DD₁所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則：
D（0，0，0），E（1，2，0），F(xiàn)（1，0，2），A（2，0，0）；
∴$\overrightarrow{DE}=（1，2，0），\overrightarrow{DF}=（1，0，2）$，$\overrightarrow{DA}=（2，0，0）$；
設(shè)平面B₁EDF的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則：$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{DF}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{x+2z=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x}\\{z=-\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，取x=1，∴$\overrightarrow{n}=（1，-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$；
若設(shè)直線AD和平面B₁EDF所成角為θ，則：
sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{DA}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DA}|}=\frac{2}{2•\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$；
∴直線AD和平面B₁EDF所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角的方法，能確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，以及平面法向量的概念，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，弄清直線和法向量所成角與直線和平面所成角的關(guān)系．