Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=$\sqrt{6}$，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，M，N分別為BC和PB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）求點B到平面AND的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結AC，由題意和面面垂直的判定定理可得；
（Ⅱ）取AB中點E，連結NE，由V_N-ABD=V_B-AND和三棱錐的體積公式可得距離d的方程，解方程可得．

解答 解：（Ⅰ）證明：連結AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，
∵M是BC中點，∴AM⊥BC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，在平面PMA中AM∩PA=A，∴BC⊥平面PMA
∴平面PBC⊥平面PMA；
（Ⅱ）取AB中點E，連結NE，則NE∥PA，∴NE⊥平面ABCD，$NE=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
過點E作AD的垂線，交DA延長線于點F，連結NF，易知NF⊥DA，
在Rt△EFA中，AE=1，∠EAF=60°，∴$EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
在Rt△NEF中，$NE=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，EF=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，∠NEF=90°$，∴$NF=\frac{3}{2}$
∴${S_{△AND}}=\frac{1}{2}AD•NF=\frac{1}{2}•2•\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$，${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•ADsin∠BAD=\sqrt{3}$
設點B到平面AND的距離為d，由V_N-ABD=V_B-AND，
得$\frac{1}{3}•NE•{S_{△ABD}}=\frac{1}{3}•d•{S_{△AND}}$，即$\frac{{\sqrt{6}}}{2}•\sqrt{3}=d•\frac{3}{2}$，∴$d=\sqrt{2}$
∴點B到平面AND的距離為$\sqrt{2}$

點評 本題考查立體幾何的綜合問題，涉及平行和垂直關系以及空間距離的求解，屬中檔題．