Question

9．為了解某地高中生身高情況，研究小組在該地高中生中隨機(jī)抽取30名高中生的身高編成如圖所示的莖葉圖（單位：cm）；若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175以下（不包括175cm）定義為“非高個子”．
（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？
（2）用樣本估計總體，把頻率作為概率，若從該地所有高中生（人數(shù)很多）中選3名，用ξ表示所選3人中“高個子”的人數(shù)，試寫出ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意及莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，利用用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，利用對立事件即可；
（2）依題意，抽取一名學(xué)生是“高個子”的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，從該地所有高中生（人數(shù)很多）中選3名，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$）．ξ的取值為0，1，2，3，求出每一個值對應(yīng)事件的概率，即可求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）根據(jù)莖葉圖，有“高個子”12人，“非高個子”18人，
用分層抽樣的方法，每個人被抽中的概率是$\frac{5}{30}$=$\frac{1}{6}$，
所以選中的“高個子”有2人，“非高個子”有3人．
用事件A表示“至少有一名“高個子”被選中”，則它的對立事件$\overline{A}$表示“沒有一名“高個子”被選中”，
則P（A）=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．
因此，至少有一人是“高個子”的概率是$\frac{7}{10}$．
（2）依題意，抽取一名學(xué)生是“高個子”的概率為$\frac{12}{30}$=$\frac{2}{5}$，從該地所有高中生（人數(shù)很多）中選3名，ξ～B（3，$\frac{2}{5}$）．ξ的取值為0，1，2，3．　
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（1-\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}•\frac{2}{5}•（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}•\frac{3}{5}$=$\frac{36}{125}$，P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}$=$\frac{8}{125}$　　　　　　　　　　
因此，ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∴Eξ=0×$\frac{27}{125}$+1×$\frac{54}{125}$+2×$\frac{36}{125}$+3×$\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查莖葉圖、分層抽樣、隨機(jī)事件的概率、對立事件的概率、隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識．