Question

求拋物線y=

1

4

x²過點(diǎn)（4，

7

4

）的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求過點(diǎn)的切線方程一般采取先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，然后進(jìn)行求解．本題先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出切線方程，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用兩點(diǎn)確定一直線求出切線方程即可．

解答： 解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，x₀²），∵y=

1

4

x²，
y′|x=x0=

1

2

x₀，故切線方程為y-x₀²=

1

2

x₀（x-x₀），
∵拋物線y=

1

4

x²過點(diǎn)（4，

7

4

），
∴

7

4

-x₀²=

1

2

x₀（ 4-x₀）解得x₀=1或2，
故切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（2，4），
而切線又過點(diǎn)（4，

7

4

）．
∴切線方程為 14x-4y-49=0或2x-4y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查運(yùn)算求解能力、推理能力，屬于中檔題．