Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

ax

x+1

．
（1）若函數(shù)f（x）有極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)（記為x₁和x₂）時(shí)，求證f（x₁）+f（x₂）≥

x+1

x

•[f（x）-x+1]．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得x＞0，且有f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)函數(shù)f（x）存在極值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞4．
（Ⅱ）x₁，x₂是x²+（2-a）x+1=0的兩個(gè)解，從而x₁x₂=1，欲證原不等式成立，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，即證lnx-x+1≤0成立，由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明f（x₁）+f（x₂）≥

x+1

x

•[f（x）-x+1]．

解答： （Ⅰ）解：由已知得x＞0，且有f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，
在方程x²+（2-a）x+1=0中，△=a²-4a．
①當(dāng)△≤0，即0≤a≤4時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）無(wú)極值；
 ②當(dāng)△＞0，即a＞4時(shí)，方程x²+（2-a）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：
x1=

(a-2)- a2-4a

2

，x2=

(a-2)+ a2+4a

2

，
且∵（a-2）²≥a²-4a，∴0＜x₁＜x₂，
∵當(dāng)x∈（0，x₁）或x∈（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）在（

(a-2)- a2-4a

2

，

(a-2)+ a2+4a

2

）上單調(diào)遞減，
在（0，

(a-2)- a2-4a

2

）和（

(a-2)+ a2-4a

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）存在極值．
綜上所述：當(dāng)函數(shù)f（x）存在極值時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞4．
（Ⅱ）證明：∵x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，故滿足方程f′（x）=0，
即x₁，x₂是x²+（2-a）x+1=0的兩個(gè)解，∴x₁x₂=1，
∵f（x₁）+f（x₂）=lnx₁-

ax1

x1+1

+lnx₂-

ax2

x2+1

=ln（x₁x₂）-

a(2x1x2+x1+x2)

x1x2+x1+x2+1

=-a，
在f（x）=lnx-

ax

x+1

中，-a=

x+1

x

[f(x)-lnx]，
欲證原不等式成立，只需證明f（x）-lnx≥f（x）-x+1成立，
即證lnx-x+1≤0成立，
令g（x）=lnx-x+1，則g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=0，∴g（x）≤0，即lnx-x-1≤0成立，
∴f（x₁）+f（x₂）≥

x+1

x

•[f（x）-x+1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．